Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 CABANA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

Anterior Siguiente
6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
g) G es la región que encierran las gráficas de f(x)=x2−x−2,g(x)=x+1f(x)=x^{2}-x-2, g(x)=x+1

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas:

f(x)=x2−x−2f(x)=x^{2}-x-2 y g(x)=x+1g(x)=x+1

1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg

x2−x−2=x+1x^{2} - x - 2 = x + 1 Llevamos todos los términos al mismo lado para que nos quede una cuadrática igualada a cero. x2−x−x−2−1=0x^{2} - x - x - 2 - 1 = 0 x2−2x−3=0x^{2} - 2x - 3 = 0

Si resolvés esta cuadrática llegás a dos soluciones, x=3x=3 y x=−1x=-1 Por lo tanto, estos son los puntos de intersección entre ff y gg. 

2) Techo y piso

Elegimos un número cualquiera del intervalo (−1,3)(-1,3) y evaluamos en ff y gg. Si hacés eso, vas a ver que gg es techo y ff es piso. 

3) Nos armamos la integral del área

A=∫−13(g(x)−f(x)) dx=∫−13((x+1)−(x2−x−2)) dx=∫−13(−x2+2x+3) dxA = \int_{-1}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-1}^{3} ((x + 1) - (x^{2} - x - 2)) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^{2} + 2x + 3) \, dx

Resolvemos la integral:

A= ∫−13(−x2+2x+3) dx= (−13x3+x2+3x)∣−13= (−13(3)3+(3)2+3(3))−(−13(−1)3+(−1)2+3(−1))=323A = \int_{-1}^{3} (-x^{2} + 2x + 3) \, dx = \left(-\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} + 3x\right) \Big|_{-1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}(3)^{3} + (3)^{2} + 3(3)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^{3} + (-1)^{2} + 3(-1)\right) = \frac{32}{3}

Por lo tanto, el área encerrada es 323\frac{32}{3}
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.